Системы счисления, используемые в компьютере

Статьи к прочтению:

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целойстепенью числа 2, а именно: двоичная (используются цифры 0, 1); восьмеричная…

Система счисления — способ представления чисел, опирающийся на некоторое число п знаков, называемых цифрами. Число знаков п, употребляемых для…

3. Представление чисел в компьютере

Числовые данные обрабатываются в компьютере в двоичной системе счисления. Числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, т. е. в виде последовательности нулей и единиц, и могут быть представлены в формате с фиксированной или плавающей запятой.

Целые числа хранятся в памяти в формате с фиксированной запятой. При таком формате представления чисел для хранения целых неотрицательных чисел отводится регистр памяти, состоящий из восьми ячеек памяти (8 бит). Каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а запятая находится справа после младшего разряда и вне разрядной сетки. Например, число 11001101₂ будет храниться в регистре памяти следующим образом:

Максимальное значение целого неотрицательного числа, которое может храниться в регистре в формате с фиксированной запятой, можно определить из формулы: 2 n – 1, где п – число разрядов числа. Максимальное число при этом будет равно 2 8 – 1 = 255₁₀ = 11111111₂и минимальное 0₁₀ = 00000000₂. Таким образом, диапазон изменения целых неотрицательных чисел будет находиться в пределах от 0 до 255₁₀.

В отличие от десятичной системы в двоичной системе счисления при компьютерном представлении двоичного числа отсутствуют символы, обозначающие знак числа: положительный (+) или отрицательный (-), поэтому для представления целых чисел со знаком в двоичной системе используются два формата представления числа: формат значения числа со знаком и формат дополнительного кода. В первом случае для хранения целых чисел со знаком отводится два регистра памяти (16 бит), причем старший разряд (крайний слева) используется под знак числа: если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное, то – 1. Например, число 536₁₀ = 0000001000011000₂ будет представлено в регистрах памяти в следующем виде:

а отрицательное число -536₁₀ = 1000001000011000₂ в виде:

Максимальное положительное число или минимальное отрицательное в формате значения числа со знаком (с учетом представления одного разряда под знак) равно 2 n-1 – 1 = 2 16- 1 – 1 = 2 15 – 1 = 32767₁₀ = 111111111111111₂ и диапазон чисел будет находиться в пределах от -32767₁₀ до 32767.

Наиболее часто для представления целых чисел со знаком в двоичной системе применяется формат дополнительного кода, который позволяет заменить арифметическую операцию вычитания в компьютере операцией сложения, что существенно упрощает структуру микропроцессора и увеличивает его быстродействие.

Для представления целых отрицательных чисел в таком формате используется дополнительный код, который представляет собой дополнение модуля отрицательного числа до нуля. Перевод целого отрицательного числа в дополнительный код осуществляется с помощью следующих операций:

1) модуль числа записать прямым кодом в п (п = 16) двоичных разрядах;

2) получить обратный код числа (инвертировать все разряды числа, т. е. все единицы заменить на нули, а нули – на единицы);

3) к полученному обратному коду прибавить единицу к младшему разряду.

Например, для числа -536₁₀ в таком формате модуль будет равен 0000001000011000₂, обратный код – 1111110111100111, а дополнительный код – 1111110111101000. Проверим полученное значение дополнительного кода с помощью калькулятора. Для этого введем значение модуля числа -536₁₀, т. е. число 536₁₀, и с помощью опционной кнопки Bin преобразуем это число, представленное в десятичной системе счисления, в двоичную систему, предварительно установив опционную кнопку 2 байта. Нажав кнопку Not калькулятора, получим обратный код числа, а прибавив к обратному коду двоичную единицу, – дополнительный код. Окончательный результат получим в поле окна программы Калькулятор (рис. 2.6). Можно поступить еще проще: набрав на калькуляторе число -536₁₀ и активизировав кнопку Bin, получить дополнительной код этого числа в двоичной системе счисления.

Рис. 2.6. Результат получения дополнительного кода

Необходимо помнить, что дополнительный код положительного числа – само число.

Для хранения целых чисел со знаком помимо 16-разрядного компьютерного представления, когда используются два регистра памяти (такой формат числа называется также форматом коротких целых чисел со знаком), применяются форматы средних и длинных целых чисел со знаком. Для представления чисел в формате средних чисел используется четыре регистра (4 х 8 = 32 бит), а для представления чисел в формате длинных чисел – восемь регистров (8 х 8 = 64 бита). Диапазоны значений для формата средних и длинных чисел будут соответственно равны: -(2 31 – 1) … + 2 31 – 1 и -(2 63 -1) … + 2 63 – 1.

Компьютерное представление чисел в формате с фиксированной запятой имеет свои преимущества и недостатки. К преимуществам относятся простота представления чисел и алгоритмов реализации арифметических операций, к недостаткам – конечный диапазон представления чисел, который может быть недостаточным для решения многих задач практического характера (математических, экономических, физических и т. д.).

Вещественные числа (конечные и бесконечные десятичные дроби) обрабатываются и хранятся в компьютере в формате с плавающей запятой. При таком формате представления числа положение запятой в записи может изменяться. Любое вещественное число Къ формате с плавающей запятой может быть представлено в виде:

где А – мантисса числа; h – основание системы счисления; р – порядок числа.

Выражение (2.7) для десятичной системы счисления примет вид:

Такая форма представления числа также называется нормальной. С изменением порядка запятая в числе смещается, т. е. как бы плавает влево или вправо. Поэтому нормальную форму представления чисел называют формой с плавающей запятой. Десятичное число 15,5, например, в формате с плавающей запятой может быть представлено в виде: 0,155 · 10 2 ; 1,55 · 10 1 ; 15,5 · 10 0 ; 155,0 · 10 -1 ; 1550,0 · 10 -2 и т. д. Эта форма записи десятичного числа 15,5 с плавающей запятой не используется при написании компьютерных программ и вводе их в компьютер (устройства ввода компьютеров воспринимают только линейную запись данных). Исходя из этого выражение (2.7) для представления десятичных чисел и ввода их в компьютер преобразовывают к виду

где Р – порядок числа,

т. е. вместо основания системы счисления 10 пишут букву Е, вместо запятой – точку, и знак умножения не ставится. Таким образом, число 15,5 в формате с плавающей запятой и линейной записи (компьютерное представление) будет записано в виде: 0.155Е2; 1.55Е1; 15.5Е0; 155.0Е-1; 1550.0Е-2 и т.д.

Независимо от системы счисления любое число в форме с плавающей запятой может быть представлено бесконечным множеством чисел. Такая форма записи называется ненормализованной. Для однозначного представления чисел с плавающей запятой используют нормализованную форму записи числа, при которой мантисса числа должна отвечать условию

где |А| — абсолютное значение мантиссы числа.

Условие (2.9) означает, что мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля, или, другими словами, если после запятой в мантиссе стоит не нуль, то число называется нормализованным. Так, число 15,5 в нормализованном виде (нормализованная мантисса) в форме с плавающей запятой будет выглядеть следующим образом: 0,155 · 10 2 , т. е. нормализованная мантисса будет A = 0,155 и порядок Р = 2, или в компьютерном представлении числа 0.155Е2.

Числа в форме с плавающей запятой имеют фиксированный формат и занимают в памяти компьютера четыре (32 бит) или восемь байт (64 бит). Если число занимает в памяти компьютера 32 разряда, то это число обычной точности, если 64 разряда, то это число двойной точности. При записи числа с плавающей запятой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, мантиссы и порядка. Количество разрядов, которое отводится под порядок числа, определяет диапазон изменения чисел, а количество разрядов, отведенных для хранения мантиссы, – точность, с которой задается число.

При выполнении арифметических операций (сложение и вычитание) над числами, представленными в формате с плавающей запятой, реализуется следующий порядок действий (алгоритм) :

1) производится выравнивание порядков чисел, над которыми совершаются арифметические операции (порядок меньшего по модулю числа увеличивается до величины порядка большего по модулю числа, мантисса при этом уменьшается в такое же количество раз);

2) выполняются арифметические операции над мантиссами чисел;

3) производится нормализация полученного результата.

Поясним сказанное выше на примерах.

Пример 1

Произведем сложение двух чисел 0,5 · 10 2 и 0,8 · 10 3 в формате с плавающей запятой.

Проведем выравнивание порядков и сложение мантисс 0,05 · 10 3 + 0,8 · 10 3 = 0,85 · 10 3 . Полученная мантисса 0,85 является нормализованной, так как удовлетворяет условию (2.9).

Пример 2

Произведем сложение двух чисел 0,1 · 2 2 и 0,1 · 2 3 в формате с плавающей запятой.

Проведем выравнивание порядков и сложение мантисс: 0,01 · 2 3 + 0,1 · 2 3 = 0,11 · 2 3 . Полученная мантисса 0,11 является нормализованной, так как удовлетворяет условию (2.9).

Как компьютер запоминает данные в ОЗУ?

Последовательность битов или 1 байт «01000001», записанный в ОЗУ, может означать что угодно — это может быть число «65», буква «А» или цвет картинки. Чтобы операционная система могла понимать, что означают эти биты, были придуманы различные кодировки для разных типов данных: MP3, WAV, MPEG4, ASCII, Unicode, BMP, Jpeg. Например, давайте попытаемся записать кириллическую букву «р» в нашу память. Для этого сначала необходимо перевести её в формат Unicode-символа (шестнадцатеричное число). «р» в Unicode-таблице это «0440». Далее мы должны выбрать, в какой кодировке будем сохранять число, пусть это будет UTF-16. Тогда в двоичной системе Unicode-символ примет вид «00000100 01000000». И уже это значение мы можем записывать в ОЗУ. Оно состоит из двух байт. А вот если бы мы взяли английскую «s», в двоичном виде она бы выглядела вот так «01110011».

Дело в том, что английский алфавит занимает лишь 1 байт, так как в UTF-кодировке он умещается в диапазон чисел от 0 до 255. В 256 комбинаций спокойно вмещаются числа от 0 до 9 и английский алфавит, а вот остальные символы уже нет, поэтому, например, для русских символов нужно 2 байта, а для японских или китайских символов нам понадобится уже 3 и даже 4 байта.

Вот мы и разобрались с тем, как работает оперативная память и как можно записать в неё данные. Понравился материал? Делитесь им с друзьями и давайте обсудим его в нашем чате.

В какой системе счисления хранятся данные в компьютере

Изучение любого языка высокого уровня обычно начинается с освоения основных команд и написания первых простейших программ. Но с ассемблером так сразу не получится. Это объясняется тем, что программы на ассемблере напрямую манипулируют устройствами компьютера, в первую очередь процессором и памятью. Языки высокого уровня скрывают от программиста все манипуляции с компьютерным «железом». Таким образом, чтобы научиться программировать на ассемблере, необходимо знать архитектуру компьютера.

1.1. Архитектура компьютера.

Успешное применение языка ассемблера невозможно без знания и понимания архитектуры компьютера и знания архитектуры конкретного процессора, для которого будет создаваться программа.

Архитектура компьютера – это логическая организация, структура и ресурсы компьютера, которые может использовать программист.

Архитектура компьютера включает в себя архитектуры отдельных устройств, входящих в компьютер. Хотя компьютер состоит из многих внешних и внутренних устройств, но реально программисту на ассемблере приходится работать только с тремя устройствами компьютерной системы: процессором, памятью и портами ввода-вывода. В сущности, эти три устройства определяют работу всего компьютера и работу всех внешних устройств подключенных к нему. Все эти три устройства соединены между собой при помощи трех основных шин: шиной данных (ШД), шиной адреса (ША) и шиной управления (ШУ) (рис. 1).

Рис. 1. Архитектура ЭВМ.

Процессор — электронный блок либо интегральная схема (микропроцессор), исполняющая машинные инструкции (код программ), главная часть аппаратного обеспечения компьютера или программируемого логического контроллера.

Оперативная память предназначена для загрузки программ и для временного хранения различных данных, необходимых для работы программ.

Порты ввода-вывода предназначены для взаимодействия с пользователем и другими устройствами.

Шина (bus) – это группа параллельных проводников, с помощью которых данные передаются от одного устройства к другому:

• Шина данных (data bus) используется для обмена команд и данных между процессором и оперативной памятью, а также между устройствами ввода-вывода и ОЗУ.
• Шина управления (control bus) используется для передачи специальных сигналов, которые синхронизируют работу всех устройств, подключенных к системной шине. Например, процессор должен знать, когда можно читать информацию с шины данных. Для этого используется специальный сигнал готовности шины данных.
• Шина адреса (address bus) используется для указания адреса ячейки памяти в ОЗУ, к которой в текущий момент происходит обращение со стороны процессора или устройства ввода-вывода (чтение или запись).

Все три шины вместе образуют системную шину или ее еще называют магистраль.

1.2. Системы счисления.

Слово «компьютер» (computer) с английского языка переводится как «вычислитель», т. е. машина для проведения вычислений. И это полностью соответствует действительности, т. к. на уровне «железа» компьютер выполняет только простейшие арифметические операции с числами, такие как сложение и умножение.

Сердцем компьютера является процессор, называемый часто центральным процессором (ЦП) или микропроцессором. Именно центральный процессор выполняет все вычисления.

Так исторически сложилось, что практически все цифровые микросхемы, в том числе компьютерные процессоры, работают только с двумя разрешенными уровнями напряжения. Один из этих уровней называется уровнем логической единицы (или единичным уровнем), а другой — уровнем логического нуля (или нулевым уровнем). Чаще всего логическому нулю соответствует низкий уровень напряжения (от 0 до 0,4 В), а логической единице — высокий уровень (от 2,4 до 5 В). Два уровня напряжения было выбрано исключительно из-за простоты реализации.

Таким образом, можно образно представлять, что в электронной цепи компьютера «бегают» только цепочки ноликов и единичек. За этими цепочками нулей и единичек закрепилось название машинные коды. Точно также можно представлять, что в память компьютера, а также на магнитные, оптические и прочие носители записываются нолики и единички, которые в совокупности составляют хранимую информацию.

То есть компьютер способен воспринимать только нолики и единички, а для нас (людей) эти нолики и единички представляются через устройства вывода (дисплеи, принтеры, звуковые колонки и пр.) в виде текста, графических изображений и звуков.

Так как компьютер способен воспринимать только два управляющих сигнала: 0 и 1, то и любая программа должна быть ему представлена только в двоичных кодах, т. е. в машинных кодах. В старые добрые времена операторы первых ЭВМ программировали напрямую в машинных кодах, переключая специально предусмотренные для этого тумблеры, или пробивали двоичные коды на перфолентах и перфокартах, которые затем считывала ЭВМ и выполняла операции согласно этим кодам.

Однако записывать и запоминать огромные двоичные цепочки, первым программистам было неудобно, поэтому они стали вместо двоичной системы использовать другие системы счисления, например десятичную, восьмеричную или шестнадцатеричную. Для сравнения: двоичное число 11001000 будет представлено в десятичном виде как 200, а в восьмеричной и шестнадцатеричной соответственно как 310 и С8.

Стоит еще раз отметить, что недвоичные системы счисления первые программисты стали использовать исключительно для личного удобства. Компьютер не способен воспринимать десятичные, шестнадцатеричные или восьмеричные числа, а только и только двоичные коды!

Таким образом, операторы первых ЭВМ стали составлять свои программы в более удобной системе счисления (восьмеричной, шестнадцатеричной или другой), а потом переводить их в двоичный машинный код. Наибольшее распространение у первых программистов из всех систем счисления получила шестнадцатеричная система счисления, которая до сих пор является основной в компьютерном мире. И все из-за того, что в отличие от других систем счисления перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему и обратно осуществляется очень легко — вместо каждой шестнадцатеричной цифры, подставляется соответствующее четырехзначное двоичное число.

Хотя шестнадцатеричная система облегчила работу с машинными кодами, но создавать программу в шестнадцатеричном виде все равно очень не просто. В итоге родился язык ассемблера, который давал возможность писать программы на более понятном человеку языке и в то же время позволял легко переводить их в машинный код.

Язык ассемблера прозвали низкоуровневым языком, потому что он максимально приближен к машинному языку, а значит к «железу» компьютера. После языка ассемблера стали появляться высокоуровневые языки, такие как Бейсик, Паскаль, Фортран, Си, С++ и пр. Они еще более понятны человеку, но преобразование в машинный код высокоуровневых программ значительно сложнее, из-за чего размер кода, как правило, получается большим и менее быстрым по сравнению с ассемблерными программами.

Если операторы первых ЭВМ переводили свои программы в машинный код вручную, то сейчас эту работу выполняют специальные программы— трансляторы (англ, translator — переводчик). Для языков высокого уровня транслятор принято называть компилятором (англ, compiler — составитель, собиратель). Для языка ассемблера обычно тоже не используется слово транслятор, а говорят просто: «ассемблер». Таким образом, ассемблером называют, как язык программирования, так и транслятор этого языка.

Соответственно процесс работы ассемблера называют ассемблированием. Процесс работы компилятора называют компилированием. Процесс обратный ассемблированию, т. е. преобразование машинного кода в программу на языке ассемблера называют дизассемблированием.

1.3. Биты и байты.

Цифра в двоичной арифметике называется разрядом (или точнее «двоичным разрядом») и может принимать значение ноль или единица. В компьютерном мире вместо разряда часто употребляют название бит.

Таким образом, минимальной единицей информации в компьютерной системе является бит, который может принимать только значение 0 или 1. Однако минимальным объемом данных, которым позволено оперировать любой компьютерной программе является не бит, а байт. Байт состоит из восьми бит. Если программе нужно изменить значение только одного бита, то она все равно должна считать целый байт, содержащий этот бит. Биты в байте нумеруются справа налево от 0 до 7, при этом нулевой бит принято называть младшим, а седьмой — старшим (рис. 2).

Так как в байте всего восемь бит, а бит может принимать только два значения, то простой арифметический подсчет показывает, что байт может принимать до 2 8 =256 различных значений. Поэтому в байте могут быть представлены целые числа в диапазоне от 0 до 255, или числа со знаком от -128 до +127.

Однако не только байтами может оперировать компьютерная программа, но и более крупными единицами данных— словами, двойными словами и учетверенными словами. Слово состоит из двух байт, при этом биты с 0 по 7 составляют младший байт в слове, а биты с 8 по 15— старший (рис. 3). Понятно, что слово может принимать до 2 16 =65536 различных значений.

Двойное слово, как следует из самого названия, состоит из двух слов или четырех байт, а значит из 32-х бит, а два двойных слова составляют учетверенное слово (64 бита).

Существует еще более крупная единица, которая называется параграф и представляет собой 16 смежных байт.