Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления
1. Целую часть числа переводим по алгоритму перевода целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления.
Делим число на основание системы счисления, в которую необходимо перевести, при этом записывая в обратном порядке остатки, из которых складывается искомое число.
2. Дробную часть числа умножаем последовательно на основание системы счисления, в которую необходимо перевести. Умножаем до тех пор, пока не получим единицу в целой части или пока не получим нужное число разрядов по условию задания. Из целых частей получившихся произведений записываем в прямом порядке искомое число.
Следуя алгоритму, переводим сначала целую часть десятичного числа (58) в двоичную систему счисления. Делим его последовательно на основание искомой системы счисления — (2). Получаем число (111010). Следующим шагом переводим дробную часть (0,14) от десятичного числа, отбросив целую часть. Умножаем последовательно число на основание искомой системы счисления — (2). Умножаем до тех пор, пока не получим единицу в целой части. Записываем выделенные на схеме числа в прямом порядке и получаем в итоге двоичное число (111010,001).
Следуя алгоритму, переводим сначала целую часть десятичного числа (58) в шестнадцатеричную систему счисления. Делим его последовательно на основание искомой системы счисления — (16). Получаем число 3 A . Следующим шагом переводим дробную часть (0,14) от десятичного числа, отбросив целую часть. Умножаем последовательно дробную часть на основание искомой системы счисления — (16). Умножаем до тех пор, пока не получим ноль в целой части. Записываем выделенные на схеме числа в прямом порядке и получаем в итоге шестнадцатеричное число (3A,23D7).
Вещественные числа (числа с плавающей точкой)
Все равные по абсолютному значению положительные и отрицательные числа отличаются только этим битом. В остальном числа с разным знаком полностью одинаковы. Для представления отрицательных чисел здесь не используется дополнительный код.
Поле мантиссы содержит мантиссу нормализованного числа.
Одинарная точность:
1.(цифры мантиссы)*2 (P-127)
Двойная точность:
1.(цифры мантиссы)*2 (P-1023)
Расширенная точность:
1.(цифры мантиссы)*2 (P-16383)
Пример .
Запишите код действительного числа, интерпретируя его как величину типа Double.
а) 446,15625;
Переводим десятичное число в двоичное представление.
| Целая часть от деления | Остаток от деления |
| 446 div 2 = 223 | 446 mod 2 = 0 |
| 223 div 2 = 111 | 223 mod 2 = 1 |
| 111 div 2 = 55 | 111 mod 2 = 1 |
| 55 div 2 = 27 | 55 mod 2 = 1 |
| 27 div 2 = 13 | 27 mod 2 = 1 |
| 13 div 2 = 6 | 13 mod 2 = 1 |
| 6 div 2 = 3 | 6 mod 2 = 0 |
| 3 div 2 = 1 | 3 mod 2 = 1 |
| 1 div 2 = 0 | 1 mod 2 = 1 |
Остаток от деления записываем в обратном порядке. Получаем число в 2-ой системе счисления: 110111110
446 = 1101111102
Для перевода дробной части числа последовательно умножаем дробную часть на основание 2. В результате каждый раз записываем целую часть произведения.
0.15625*2 = 0.313 (целая часть 0)
0.313*2 = 0.626 (целая часть 0)
0.626*2 = 1.252 (целая часть 1)
0.252*2 = 0.504 (целая часть 0)
0.504*2 = 1.008 (целая часть 1)
Получаем число в 2-ой системе счисления: 00101
0.15625 = 001012
446.15625 = 110111110,001012 = 1,1011111000101*2 8
Знак S = 0
Порядок P = 8 + 1023 = 103110 = 100000001112
Мантисса: 1011111000101
Для числа с двойной точностью мантисса занимает 52 разряда. Добавляем нули.
Мантисса: 1011 1110 0010 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
Запишем число:
0 10000000111 1011 1110 0010 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
В шестнадцатеричной системе счисления: 407BE2800000000016
б) -455,375.
Переводим десятичное число в двоичное представление.
| Целая часть от деления | Остаток от деления |
| 455 div 2 = 227 | 455 mod 2 = 1 |
| 227 div 2 = 113 | 227 mod 2 = 1 |
| 113 div 2 = 56 | 113 mod 2 = 1 |
| 56 div 2 = 28 | 56 mod 2 = 0 |
| 28 div 2 = 14 | 28 mod 2 = 0 |
| 14 div 2 = 7 | 14 mod 2 = 0 |
| 7 div 2 = 3 | 7 mod 2 = 1 |
| 3 div 2 = 1 | 3 mod 2 = 1 |
| 1 div 2 = 0 | 1 mod 2 = 1 |
Остаток от деления записываем в обратном порядке. Получаем число в 2-ой системе счисления: 111000111
455 = 1110001112
Для перевода дробной части числа последовательно умножаем дробную часть на основание 2. В результате каждый раз записываем целую часть произведения.
0.375*2 = 0.75 (целая часть 0)
0.75*2 = 1.5 (целая часть 1)
0.5*2 = 1 (целая часть 1)
0*2 = 0 (целая часть 0)
Получаем число в 2-ой системе счисления: 0110
0.375 = 01102
455,375 = 111000111,01102 = 1,110001110110*2 8 2
Знак S = 1
Порядок P = 8 + 1023 = 103110 = 100000001112
Мантисса: 1100 0111 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
Запишем число:
1 10000000111 1100 0111 0110 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
В шестнадцатеричной системе счисления: -455,375 = C07C76000000000016
Дан код величины типа Double. Преобразуйте его число.
а) 408B894000000000;
Представим в двоичном коде:
010000001000 1011 1000 1001 0100 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000
где
S = 0 (положительное число)
P = 100000010002 = 1032 – 1023 = 9
M = 10111000100101
N = 1,10111000100101
С учетом P = 9, N = 1101110001,00101
1101110001 = 2 9 *1 + 2 8 *1 + 2 7 *0 + 2 6 *1 + 2 5 *1 + 2 4 *1 + 2 3 *0 + 2 2 *0+ 2 1 *0 + 2 0 *1 = 512 + 256 + 0 + 64 + 32 + 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 881
Для перевода дробной части необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда
00101 = 2 -1 *0 + 2 -2 *0 + 2 -3 *1 + 2 -4 *0 + 2 -5 *1 = 0.15625
б) C089930000000000.
Представим в двоичном коде:
1 10000001000 100110010011000000000000000000000000 0000 0000 0000 0000
где
S = 1 (отрицательное число)
P = 100000010002 = 1032 – 1023 = 9
M = 100110010011
N =1,100110010011
С учетом P = 9, N = 1100110010,011
1100110010 = 2 9 *1 + 2 8 *1 + 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *1 + 2 4 *1 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *1 + 2 0 *0 = 512 + 256 + 0 + 0 + 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 0 = 818
Для перевода дробной части необходимо разделить разряд числа на соответствующую ему степень разряда
011 = 2 -1 *0 + 2 -2 *1 + 2 -3 *1 = 0.375
В десятичную систему счисления
Чтобы выполнить перевод целого числа из любой позиционной системы счисления в десятичную, нужно представить число в виде суммы разрядных слагаемых. Цифры и разрядные единицы записываются в десятичной системе счисления.
37810 = 3 · 100 + 7 · 10 + 8 = 3 · 10 2 + 7 · 10 1 + 8 · 1.
Ниже представлены примеры перевода целых чисел из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем в десятичную:
По какому алгоритму вводимые в компьютер десятичные числа можно перевести
Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.
1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:
Пример . Число перевести в десятичную систему счисления.
2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:
Пример . Число перевести в десятичную систему счисления.
3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
При переводе удобно пользоваться та блицей степеней числа 16:
Пример . Число перевести в десятичную систему счисления.
4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.
5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.
6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).
Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.
8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой (табл. 3).
Пример. Число перевести в шестнадцатеричную систему счисления.
9. Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.
Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.
10. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.
Пример. Число перевести в двоичную систему счисления.
11. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.
Перевод чисел из одной системы счисления в любую другую онлайн
Калькулятор перевода чисел имеет одно поле для ввода. В это поле необходимо ввести число которое Вы хотите перевести.
После этого Вам обязательно нужно указать в какой системе счисления Вы его ввели. Для этого под полем ввода есть графа «Его система счисления».
Если Вы не нашли своей системы, то выберите графу «другая» и появится поле ввода . В это поле необходимо вписать основание системы одним числом без пробелов.
Далее необходимо выбрать в какую систему хотите перевести данное число. Если Вы опять не нашли нужной системы то введите ее в графе «другая».
После нажмите кнопку «ПЕРЕВЕСТИ» и результат появится в соответствующем поле. Если Вы хотите получить подробный ход решения, то нажмите на соответствующую ссылку.
Научиться переводить число из одной системы счисления в другую очень просто.
Любое число может быть легко переведено в десятичную систему по следующему алгоритму:
Каждая цифра числа должна быть умножена на основание системы счисления этого числа возведенное в степень равное позиции текущей цифры в числе справа налево, причём счёт начинается с 0.
