Система счисления
Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами. Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Известно множество способов представления чисел. В любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называют цифрами.
Введение
Потребность в счете возникла у людей с давних времен. Ученые археологи нашли много записей времен пещерного человека, с помощью которых они обозначали количество убитых животных, добытых шкур и собранного урожая. Так в 1937 году в Моравии была найдена кость с 55 зарубками. По мнению ученых они обозначали количество бизонов добытых вождем племени.
С развитием технологий, счет находил применение во всех областях социальной жизни человечества – астрономии, налогообложении и промышленности. Сейчас вычисления активно используются в информатике для представления информации в электронно-вычислительных машинах. В этой статье вы узнаете, что такое система исчисления, изучите основные определения, которые помогут вам лучше разобраться в теме, выясните, что такое позиционные и непозиционные системы исчисления и чем они отличаются.
Зачем нужна двоичная система
Двоичная система выглядит очень непривычно и числа, записанные в ней, получаются огромными. Зачем она вообще нужна? Разве компьютеры не могут работать с привычной нам десятичной системой?
Оказывается, когда-то они именно так и работали. Самый первый компьютер ENIAC, разработанный в 1945 году, хранил числа в десятичной системе счисления. Для хранения одной цифры применялась схема, которая называется кольцевым регистром, она состояла из десяти радиоламп.
Чтобы записать все числа до миллиона — от 0 до 999 999 — надо шесть цифр, значит, для хранения таких чисел нужно целых 60 ламп.
Инженеры заметили, что если бы они кодировали числа в двоичной системе, то для хранения таких же больших чисел им бы потребовалось всего двадцать радиоламп — в три раза меньше!
Первое преимущество двоичных чисел — простота схем. Второе, и не менее важное — быстродействие. Сложение чисел, хранящихся в кольцевом регистре, требует до десяти тактов процессора на каждую операцию. Сложение двоичных чисел можно выполнить за один такт — то есть в десять раз быстрее.
Группа инженеров, создавших первый компьютер, в 1946 году опубликовала статью, где обосновала преимущество двоичной системы для представления чисел в компьютерах. Первой среди авторов была указана фамилия американского математика Джона фон Неймана. Поэтому сейчас принципы проектирования компьютеров называются архитектурой фон Неймана, хотя это не совсем справедливо по отношению к другим изобретателям компьютера.
При разработке программы с двоичной записью столкнуться довольно сложно: компьютер в подавляющем большинстве случаев сам переводит двоичные числа в десятичные и обратно. Можно долго писать код, даже не подозревая, что внутри компьютера данные хранятся каким-то особым образом.
Зачем изучать двоичную систему, если компьютер делает всю работу за нас? Иногда программистам приходится писать программы, которые работают напрямую с оборудованием. Например, разработчики игр должны знать, как работают видеокарты, что сделать компьютерную графику быстрее. А разработчики операционных систем понимают, как устроены диски, чтобы надежно хранить данные.
Программы, которые работают с железом напрямую, называются системными или низкоуровневыми. Для их создания разработчик должен понимать, как устроен компьютер. Поэтому изучение систем счисления позволяет программисту расширить свой профессиональный диапазон и стать специалистом широкого профиля.
Поэтому для того, чтобы писать сложные системные программы, нужно понимать, как устроена двоичная система счисления.
Как переводить двоичные числа в десятичные
Разберемся, как быстро переводить двоичные числа в десятичные. Для примера потребуется достаточно большое двоичное число, чтобы мы не могли вычислить его на пальцах.
Запишем его в математической записи, помня, что вместо основания 10, мы используем основание 2.
Из этого примера видно, что у всех слагаемых только два множителя — 0 и 1. Слагаемые с множителем 0 равны нулю, поэтому их можно отбросить, оставив только слагаемые с множителем 1.
У слагаемых с множителем 1 этот множитель можно не записывать.
Теперь нетрудно посчитать сумму.
Вывод: число 11010 в двоичной записи — то же самое, что 26 в десятичной.
Ещё раз повторим, как перевести двоичное число в десятичное.
- Записать число в математическом виде
- Отбросить слагаемые с множителем 0
- Сложить результат
Программисты иногда запоминают некоторые степени числа два, чтобы уметь оценивать порядок двоичных чисел. Вы можете подглядывать в эту таблицу:
| Двоичное число | Степень 2 | Десятичное число |
|---|---|---|
| 12 | 2 0 | 1 |
| 102 | 2 1 | 2 |
| 1002 | 2 2 | 4 |
| 10002 | 2 3 | 8 |
| 1 00002 | 2 4 | 16 |
| 10 00002 | 2 5 | 32 |
| 100 00002 | 2 6 | 64 |
| 1000 00002 | 2 7 | 128 |
| 1 0000 00002 | 2 8 | 256 |
| 10 0000 00002 | 2 9 | 512 |
| 100 0000 00002 | 2 10 | 1 024 |
| 1 0000 0000 0000 00002 | 2 16 | 65 536 |
| 1 0000 0000 0000 0000 0000 00002 | 2 24 | 16 777 216 |
| 1 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 00002 | 2 32 | 4 294 967 296 |
С помощью этой таблицы можно переводить числа из двоичной системы в десятичную практически «в уме».
Преобразования чисел
Преобразования чисел В случае встроенных числовых типов (sbyte, int, float и т.д.) явное преобразование требуется тогда, когда вы пытаетесь сохранить большее значение в меньшем контейнере, поскольку при этом может происходить потеря данных. По сути, это способ сказать
СОРТИРОВКА ЧИСЕЛ Одним из наиболее распространенных тестов для машин является сортировка. Мы хотим разработать программу для сортировки целых чисел. Снова применим принцип черного ящика и подумаем в терминах ввода и вывода. Наш общий замысел, показанный на рис. 10.4,
Восьмеричная система
Еще одна известная компьютерная система счисления, в которой применяются цифры от 0 до 7. Применялась в основном в тех областях знаний, которые связаны с цифровыми устройствами. Но в последнее время она употребляется значительно реже, так как на смену ей пришла шестнадцатеричная система счисления.
Представление больших чисел в двоичной системе для человека – процесс довольно сложный. Для его упрощения была разработана двоично-десятичная система счисления. Используется она обычно в электронных часах, калькуляторах. В данной системе из десятичной системы в двоичную преобразуется не все число, а каждая цифра переводится в соответствующий ей набор нулей и единиц в двоичной системе. Аналогично происходит и перевод из двоичной системы в десятичную. Каждая цифра, представленная в виде четырехзначного набора нулей и единиц, переводится в цифру десятичной системы счисления. В принципе, нет ничего сложного.
Для работы с числам в данном случае пригодится таблица систем счисления, в которой будет указано соответствие между цифрами и их двоичным кодом.
Общие сведения
Числа записывают при помощи определенных математических символов, значение которых зависит от системы счисления (формы представления). Последней называется метод записи числа посредством определенной совокупности знаковых элементов — цифр. Не все учащиеся понимают отличие цифры от числового значения. В учебнике по информатике для 9 класса можно встретить и такое определение: системы счисления — набор символов, используемый для обозначения цифр.
Цифра — определенный математический символ, который указывает на конкретную величину. Они составляют число, а их расположение называется разрядной сеткой.
Цифры классифицируются на 2 вида: арабские и римские. Первые применяются для устного счета и представлены диапазоном от 0 до 9, который называется десятичной формой представления. Римские имеют другие обозначения. Вот расшифровка некоторых из них, которую можно перечислить в виде следующих символов: 1 — I, 2 — II, 3 — III, 4 — IV, 5 — V, 6 — VI, 7 — VII, 8 — VIII, 9 — IX, 10 — X, 40 — XL, 50 — L, 90 — XC, 100 — C, 200 — CC, 400 — CD, 500 — D.
Подсчет в двоичном формате
В двоичном выражении первая цифра равноценна 1 из десятичной системы. Вторая цифра равна 2, третья – 4, четвертая – 8, и так далее – удваивается каждый раз. Добавление всех этих значений даст вам число в десятичном формате.
1111 (в двоичном формате) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 (в десятичной системе)
Учет 0 даёт нам 16 возможных значений для четырех двоичных битов. Переместитесь на 8 бит, и вы получите 256 возможных значений. Это занимает намного больше места для представления, поскольку четыре цифры в десятичной форме дают нам 10000 возможных значений. Конечно, бинарный код занимает больше места, но компьютеры понимают двоичные файлы намного лучше, чем десятичную систему. И для некоторых вещей, таких как логическая обработка, двоичный код лучше десятичного.
Следует сказать, что существует ещё одна базовая система, которая используется в программировании: шестнадцатеричная. Хотя компьютеры не работают в шестнадцатеричном формате, программисты используют её для представления двоичных адресов в удобочитаемом формате при написании кода. Это связано с тем, что две цифры шестнадцатеричного числа могут представлять собой целый байт, то есть заменяют восемь цифр в двоичном формате. Шестнадцатеричная система использует цифры 0-9, а также буквы от A до F, чтобы получить дополнительные шесть цифр.
Электронное приложение к уроку
Презентация «Представление информации в компьютере» (Open Document Format)
Ссылки на ресурсы ЕК ЦОР
- интерактивный задачник, раздел «Системы счисления» (128659);
http://school-collection.edu.ru/catalog/res/fc77f535-0c00-4871-b67c-fa2ecf567d46/?inter - демонстрация к лекции «Представление целых чисел в памяти компьютера» (119430);
http://school-collection.edu.ru/catalog/res/ecf4ab69-d8ac-40a8-b26a-2780aa70b33d/?inter - тест по теме «Системы счисления» — «Система тестов и заданий N12» (134887);
http://school-collection.edu.ru/catalog/res/6e89032a-2e09-4519-bb1e-653b4ecfd08f/?inter - интерактивный задачник, раздел «Представление чисел» (119410);
http://school-collection.edu.ru/catalog/res/c4939f11-5709-4fde-bc83-ceb614135d81/?inter - тренировочный тест «Двоичная система счисления и представление чисел в памяти компьютера» (119342);
http://school-collection.edu.ru/catalog/res/19d0fb95-871d-4063-961d-e7dc5725e555/?inter - информационный модуль «Достоинcтва и недостатки двоичной системы счисления при использовании ее в компьютере»
http://fcior.edu.ru/card/23457/dostoinctva-i-nedostatki-dvoichnoy-sistemy-schisleniya-pri-ispolzovanii-ee-v-kompyutere.html
Федеральный центр информационных образовательных ресурсов:
- информационный модуль «Число и его компьютерный код»;
http://fcior.edu.ru/card/11501/chislo-i-ego-kompyuternyy-kod.html - практический модуль «Число и его компьютерный код»;
http://fcior.edu.ru/card/9581/chislo-i-ego-kompyuternyy-kod.html - информационный модуль «Дополнительный код числа. Алгоритм получения дополнительного кода отрицательного числа»;
http://fcior.edu.ru/card/14187/dopolnitelnyy-kod-chisla-algoritm-polucheniya-dopolnitelnogo-koda-otricatelnogo-chisla.html - информационный модуль «Числа с фиксированной и плавающей запятой»;http://fcior.edu.ru/card/2107/chisla-s-fiksirovannoy-i-plavayushchey-zapyatoy.html
| Презентации, плакаты, текстовые файлы | Вернуться к материалам урока | Ресурсы ЭОР |
Cкачать материалы урока
